الگوی فراکتال در طبیعت

فراکتال و نظم در بی نظمی

آکاایران: فراکتال، یا فرکتال (Fractal) ساختاری هندسی است متشکل از اجزایی که با بزرگ کردن هر جزء به نسبت معین، همان ساختار اولیه به دست آید. به عبارتی دیگر فرکتال ساختاری است که هر جزء از آن با کلش همانند است.
فراکتال ها در بسیاری از ساختارهای طبیعی مثل برف دانه ها، کوه ها، ابرها، ریشه، تنه و برگ درختان، رویش بلورها در سنگ های آذرین، شبکه آبراه ها و رودخانه ها، رسوبگذاری الکتروشیمیایی، رویش توده باکتری ها و سیستم عروق خونی، DNA و… دیده می شوند و با آنها می توان پدیده های طبیعی بسیاری را تشریح، تفسیر و پیش بینی کرد.
بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نظیر تراشه های سیلیکونی، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها نیز از قوانین فراکتالی پیروی می کنند.

هندسه بعد چهارم یا هندسه طبیعت

بنوا مندل برو (۱۳۸۹ ـ ۱۳۰۳) پدر هندسه فراکتالی، مبدع واژه فراکتال و کاشف مجموعه مندل برو است که تقریبا مادر تمام فراکتال ها محسوب می شود.

مندل برو در نوجوانی، آموزش و تعلیمات رسمی منظمی کسب نکرد و به گفته خودش هیچ گاه نتوانست الفبا و جدول ضرب را درست و حسابی فرا بگیرد، اما در عین حال در برخی حوزه های زبان شناسی، نظریه بازیها و احتمالات، دانش هوانوردی ، مهندسی ، علم اقتصاد، فیزیولوژی، جغرافیا، نجوم و صد البته فیزیک کارشناس و خبره بود.

آکاایران: فراکتال و نظم در بی نظمی

مندل برو از دانش پژوهان مشتاق تاریخ علم نیز بود و از همه مهم تر جزو نخستین ریاضیدانان الگوی فراکتال در طبیعت جهان به لحاظ دسترسی به رایانه های پر سرعت محسوب می شود.

بنوا مندل برو ،کشفیات بزرگ خود را با سرپیچی و تمرد از قدرت حاکم زمانه یا همان ریاضیات آکادمیک صورت داد. در گذشته، علوم و ریاضیات بر محور نظام های محدودی در سه بعد نخست (یا همان خط، سطح و فضا) دور می زدند، که ظاهرا با جهان واقعی و مختصاتش که بعد چهارم گفته می شد، میانه ای نداشتند.

در حقیقت، ما در بعد چهارم یا پیوستار فضا – زمان زندگی می کنیم. گرچه از زمان اینشتین به بعد بود که فهمیدیم، حتی بعد سوم واقعا وجود ندارد و تنها مدلی برای واقعیت می تواند باشد، اما پس از مندل برو بود که تازه متوجه شدیم بعد چهارم واقعا چیست و چگونه به نظر می رسد و از چهره فراکتالی آشوب و بی نظمی باخبر شدیم؛ کسی که چهره اصلی نظریه پردازی آشوب در زمانه ما محسوب می شود.

تحقیقات مندل برو نهایتا به دستاورد بزرگی منجر شد که در یک فرمول ساده ریاضی خلاصه می شود. این فرمول که امروز به افتخار نام مخترعش مجموعه مندل برو نامیده می شود و برخی آن را بزرگترین کشف ریاضیات قرن بیستم می دانند یک حساب دینامیک و پویا بر اساس تکرار اعداد مرکب با صفر به عنوان نقطه شروع است.

فرمول مندل برو خلاصه ای از درک و بینشهای بسیاری است که مندل برو از هندسه فراکتال طبیعت یا همان جهان واقعی بعد چهارم به دست آورده است. فرمول مندل برو در تضاد آشکار با جهان آرمانی اشکال اقلیدسی بعدهای اول تا سوم است که دغدغه خاطر تقریبا تمامی ریاضیدانان پیش از مندل برو بوده است.

همه اینها نمونه هایی از اشکال فرکتالی اند

این موجودات به عنوان اصلی ترین بازیگران هندسه منتج از نظریه آشوب شناخته می شوند.این هندسه ویژگی های منحصر به فردی دارد، که می تواند توجیه گر بسیاری از رویدادهای جهان اطراف ما باشد، اما ویژگی اصلی که در تعریف آشوب و بالطبع هندسه آن وجود دارد، باعث می شود ما استفاده ویژه ای از این سیستم ببریم.

این روزها از فراکتالها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه ای نام می برند، اما هنگام پیدایش این مفهوم جدید بیشترین نقش را در فشرده سازی فایلهای تصویری بازی کردند. برای آن که درک بهتری نسبت به فراکتالها داشته باشیم ، بد نیست نگاه مختصری به آشوبی بیندازیم ، که فراکتال ها فضای هندسی آنها را تعریف می کند.

تعریف آشوب

فصل مشترک تعاریفی که برای مفهوم آشوب ارائه شده است ، تاکید بر این نکته است که آشوب دانش بررسی رفتار سیستم هایی است که اگرچه ورودی آنها قابل تعیین واندازه گیری است ، اما خروجی این سیستم ها ظاهری کتره ای و تصادفی دارد.

شاید به همین دلیل بود که استوارت ریاضیدان برجسته این موضوع را مفهومی احتمالاتی می دانست ، اما چیزی نگذشت که وی تعریف خود را اصلاح کرد و به تعریفی رسید که تقریبا مورد تایید عمومی قرار دارد.

بر اساس این تعریف ، آشوب به توانایی یک الگو و مدل ساده گفته می شود که اگرچه خود این الگو هیچ نشانی از پدیده های تصادفی در خود ندارد، اما می تواند منجر به ظهور رفتارهای بسیار بی قاعده در محیط شود.

ویژگی های تئوری آشوب (بی نظمی)

همانطور که ذکر گردید با بال زدن یک پروانه در یک کشور آفریقایی ممکن است طوفانی در قاره آمریکا رخ دهد. که این اثر را اثر پروانه ای نام گذاری کردیم.

سیستم های بی نظم در ارتباط با محیطشان مانند موجودات زنده عمل می کنند و نوعی تطابق و سازگاری پویا بین خود و محیط پیرامونشان ایجاد می کنند.

این جاذبه ها نوعی بی نظمی در خود دارند که اگر با دقت به آن الگوی فراکتال در طبیعت ها بنگریم و نوع دیدگاهمان را نسبت به آن ها عوض کنیم. به نظم عمیق آن ها پی خواهیم برد. به طور مثال تصاویر هندسی برگرفته شده از قوم اینکا در صحرای پرو حاکی آن است که اگر از نزدیک به آن ها بنگریم بی نظمی ها را نشان می دهند اما اگر از دور دست به آن ها بنگریم تصاویر معناداری را در ذهن متبادر می سازد. این نوع جاذبه ها حاوی مطالب مهمی هستند و آن اینست که در نظر اول نباید محیط پیرامون خود را آشوب ناک توصیف کنیم بلکه با تغییر دیدگاه خود می توان این آشوب را به یک نظم تبدیل کرد.

در تئوری آشوب؛ نوعی شباهت بین اجزا و کل قابل تشخیص است. بدین ترتیب که هر جزئی از الگو همانند و متشابه کل می باشد. خاصیت خود مانایی در رفتار اعضای سازمان نیز می تواند نوعی وحدت ایجاد کند؛ همه افراد به یکسو الگوی فراکتال در طبیعت و یک جهت و هدف واحدی نظر دارند. این ویژگی ازنظریه بی نظمی؛ بیشتر در فرکتال ها مورد بررسی قرار می گیرد.

نظریه بی نظمی در شاخه های مختلف ۱. اقتصاد ۲. فیزیک ۳. ریاضی ۴. پرستاری ۵. مدیریت ۶. موسیقی و…

اگرچه آشوب نظریه ای است که بر موضوعات گوناگون اجتماعی و سیاسی و اقتصادی نظر دارد، اما نیازمند زبانی برای تصویر سازی مفاهیم خود بود و این عرصه ای بود که هندسه آشوب یا فراکتالها خلق کردند.

ما در هندسه آشوب با تصاویر متفاوتی سرو کار داریم ، تصاویری که بزرگترین خصوصیات آنها این است که وقتی رسم آن را آغاز می کنیم ، نمی دانیم در نهایت با چه پدیده ای روبه رو خواهیم شد و از سوی دیگر بازخورد در آن نقش اساسی دارد. بیایید یک فرمول کلی را اجرا کنیم. یک مثلث متساوی الاضلاع رسم کنید.

حال میانه ۳ضلع را مشخص کرده و از رسم آنها به هم مثلث متساوی الساقین جدیدی به دست آورید. همین بلا را بر سر ۳مثلث تشکیل شده بیرونی بکنید و این روند را تا آنجا که می توانید ادامه دهید. شما با استفاده از یک رابطه ساده که تقسیم اضلاع مثلث به نصف و اتصال آنها به هم بود و با تکرار آن موفق به رسم نقشه یک ساختار فراکتالی شده اید.

چنان اشکالی اجزای سازنده هندسه جدی فراکتالی هستند؛ هندسه ای که به قول یکی از خالقان آن ، یعنی مندلبرات ابزاری را برای دیدن بی نهایت در اختیار ما قرار می دهد.این اشکال یک مشخصه بسیار عمده دارند. کل شکل از اجزایی مشابه شکل اول تشکیل شده است.

در مثال خودمان مثلث بزرگ از مجموعه ای مثلثهای همسان به وجود آمده است. این یکی از خصوصیات زیبای فراکتالهاست که همزمان از سوی طبیعت و فناوری به کار گرفته شده است.

اگر تا به حال به یک برگ سرخس نگاه کرده باشید، می توانید متوجه تشابه اجزای مختلف آن شوید. ساختار کل ساقه همانند یک برگ و ساختار یک برگ همانند یک جزو کوچک آن است. اگر فرصت کردید نگاهی هم به سواحل دریاها یا تصاویر هوایی کوهستان ها و گیاهان اطرافتان بیندازید، بسرعت درخواهید یافت که در جهانی آشوب زده احاطه شده اید.

با استفاده از فرکتال ها به راحتی می توان نوار قلب بیماران را تفسیر کرد و حتی احتمال بروز حمله قلبی در آنها را حدس زد و از آن جلوگیری کرد.ممکن است روزی فرکتال ها در فهمیدن چگونگی کار مغز یا ارگانیسم بدن بسیار کارآ و مؤثر واقع شوند. پیدا کردن پیوندهای بین علم و زندگی، آن رویی از سکه است که متاسفانه در کشور ما اصلاً به آن توجهی نمی شود. در صورتی که پیدا کردن و بیان این پیوندها می تواند تاثیرات بسیاری بر پیشرفت علوم و عمومی کردن آن داشته باشد. اگر الگوی فراکتال در طبیعت هنوز از این موجودات ساده و در عین حال پیچیده هیجان زده نشده اید، این نکته را هم بشنوید.این اجسام نه یک بعدی اند، نه دو بعدی و نه سه بعدی.

این ها ابعادی کسری دارند؟ فراکتالها دقیقا به دلیل همین خاصیت ویژه ای که دارند، زمانی توانستند روشی برای ذخیره سازی تصاویر ارائه دهند. معمولا زمانی که یک تصویر گرافیکی قرار است به شکل یک فایل تصویری ذخیره شود، باید مشخصات هرنقطه از آن (شامل محل قرار گیری پیکسل و رنگ آن به صورت داده هایی عدی ذخیره شود و زمانی که یک مرور گر بخواهد این فایل را برای شما به تصویر بکشد و نمایش دهد، باید بتواند این کدهای عدی را به ویژگیهای گرافیکی تبدیل کند و آن را به نمایش بگذارد. مشکلی که در این کار وجود دارد، حجم بالایی از داده ها ست که باید از سوی نرم افزار ضبط کننده و تولید کننده بررسی شود.

اگر بخواهیم تصویر نهایی ما کیفیتی عالی داشته باشد،نیازمند آنیم که اطلاعات هریک از نقاط تشکیل دهنده تصاویر را با دقت بالایی مشخص و ثبت کنیم و این حجم بسیار بالایی از حافظه را به خود اختصاص می دهد، به همین دلیل ، روشهایی برای فشرده سازی تصویر ارائه می شود.

اگر نگاهی به فایلهایی که با پسوندهای مختلف ضبط شده اند، بیندازید متوجه تفاوت فاحش حجم آنها می شوید. برخی از این فرمتها با پذیرفتن افت کیفیت بین تصویر تولیدی و آنچه آنها ذخیره می کنند، عملا این امکان را در اختیار مردم قرار می دهند، که بتوانند فایلها و تصاویر خود را روی فلاپی ها و با حجم کمتر ذخیره کنند یا روی اینترنت قرار دهند.

برای این فشرده سازی از روشهای مختفی استفاده می شود. درواقع در این فشرده سازی ها بر اساس برخی الگوریتم های کار آمد سعی می شود به جای ضبط تمام داده های یک پیکسل مشخصات اساسی از یک ناحیه ذخیره شود، که هنگام باز سازی تصویر نقشی اساسی تر را ایفا می کنند.

در اینجاست که روش فراکتالی اهمیت خود را نشان می داد. در یکی از روشهایی که در این باره مطرح شد و با استقبال بسیار خوبی از سوی طراحان مواجه شد، روش استفاده از خاصیت الگوهای فراکتالی بود. در این روش از این ویژگی اصلی فراکتالها استفاده می شد که جزیی از یک تصویر در کل آن تکرار می شود.برای درک بهتر به یک مثال نگاهی بیندازیم. فرض کنید تصویری از یک برگ سرخس تهیه کرده اید و قصد ذخیره کردن آن را دارید.

همان طور که قبلا هم اشاره شد، این برگ ساختاری کاملا فراکتالی دارد؛ یعنی اجزای کوچک تشکیل دهنده در ساختار بزرگ تکرار می شود.

بخشی از یک برگ کوچک ،برگ را می سازد و کنار هم قرار گرفتن برگها ساقه اصلی را تشکیل می دهد. اگر بخواهیم تصویر این برگ را به روش عادی ذخیره کنیم ، باید مشخصات میلیون ها نقطه این برگ را دانه به دانه ثبت کنیم ، اما راه دیگری هم وجود دارد. بیایید و مشخصات تنها یکی از دانه های اصلی را ضبط کنید. در این هنگام با اضافه کردن چند عملگر ریاضی ساده بقیه برگ را می توانید تولید کنید.

در واقع ، با در اختیار داشتن این بلوک ساختمانی و اعمال عملگرهایی چون دوران حول محورهای مختلف ، بزرگ کردن یا کوچک کردن و انتقال می توان حجم تصویر ذخیره شده را به طور قابل توجهی کاهش داد.

در این روش نرم افزار نمایشگر شما هنگامی که می خواهد تصویر را بازسازی کند، باید ابتدا بلوک کوچک را شبیه سازی کرده ، سپس عملگرهای ریاضی را روی آن اعمال کند، تا نتیجه نهایی حاصل شود.

به نظر می رسد این روش می تواند حجم نهایی را به شکل قابل ملاحظه ای کاهش دهد، اما تنها یک مشکل کوچک وجود دارد و آن هم این نکته است که همه اشیای اطراف ما برگ سرخس نیستند و بنابراین الگوهای تکرار در آنها همیشه اینقدر آشکار نیست.

بنابراین باید روشی بتواند الگوهای فراکتالی حاضر در یک تصویر را شناسایی کنند و در صورت امکان آن را اعمال کند.

به همین دلیل ، معمولا روش فراکتالی با روشهای فشرده سازی دیگر همزمان به کار برده می شود؛ یعنی اگر الگوهای تکرار چندان پررنگ نبودند، بازهم فشرده سازی امکانپذیر باشدالبته زیاد نگران ناکارامدی این روش نباشید. یادتان نرود، شما در جهانی زندگی می کنید که براساس یافته جدید ساختاری آشوبناک دارد.

مطمئن باشید هندسه فراکتال بر بسیاری از اشکال عالم حاکم است ؛ حتی اگر در نگاه اول چندان آشکا ر نباشد.

شما نیز با دقت بیشتر به اطرافتان و یافتن ارتباط های ملموس بین ریاضی و زندگی می توانید از سختی و الگوی فراکتال در طبیعت به اصطلاح خشک بودن ریاضی بکاهید.

تبیین قوانین هندسۀ فراکتال در ساختار فرم معماری؛ ارائۀ مدل پژوهشی معماری مبتنی بر فرم

بیان مسئله: از منظر علوم نوین، علم فراکتال مطالعه در ساختارهای خودمتشابه و خودسازمان‌یافته است که معنا و مفهومی از هندسه طبیعت را بیان می‌کند. در دیدگاه ریاضیات، طبیعت در ایجاد صور مختلف از قوانین فراکتال تبعیت می‌کند که در این منطق، تعامل مستقیم بین معماری و فراکتال می‌تواند مطرح شود. هدف پژوهش: این پژوهش، با طرح پرسش درمورد چگونگی کاربرد هندسۀ فراکتال، رویکردی در تبیین قوانین هندسه طبیعت در روند خودسازماندهی معماری مبتنی بر فرم دارد. روش پژوهش: نوع پژوهش کاربردی است و با استفاده از روش همبستگی در کاربرد هندسه مطابق با خصوصیات فراکتال به صورت پدیدارشناسانه و کیفی انجام می‌شود. در این مطالعه، هفت مرحله در ساختار هندسۀ فراکتال به‌عنوان ساختار مبتنی بر فرم تبیین می‌گردد. این مراحل در فرم‌یابی، سلسله‌مراتب اتصالات و تصاعدهای هندسی روند معتبری را در کاربرد این هندسه در معماری فراهم می‌آورد. علاوه بر این، معماری که برگرفته از اصول هندسه طبیعت است، استوار بر سه قانون و کارکرد در ساختار است که در این پژوهش شرح داده می‌شوند: قانون خودمتشابهی، قانون خودسازماندهی و قانون وحدت. به منظور صحت این قوانین، سه بنا از الگوی فراکتال در طبیعت الگوی فراکتال در طبیعت دوره‌های گوتیک، آرت‌نوو و معماری سنتی ایران منطبق با خصوصیات فراکتال منتخب و قوانین هندسه طبیعت در ارزیابی آنها با استفاده از مدل تطبیقی-توصیفی مورد بررسی قرار می‌گیرد.نتیجه‌گیری: براساس یافته‌های پژوهش می‌توان بیان کرد هندسۀ فراکتال در ساختار، ترکیب‌بندی عناصر و مفاهیم زیباشناسی هنر تزئینات در معماری این بناها به‌کار گرفته شده است. این عمارات با الهام‌گرفتن از هندسه طبیعت، قانون تناسبات، ریتم و فرم‌های خودمتشابه گستره‌ای از الگوهای فراکتالی را ایجاد کرده‌اند که با دو بیان ساختار و فرم در معماری بین عناصر سازنده و صور معماری مناسبت‌های درونی و وحدت برونی ایجاد کرده‌اند.

بررسی ویژگی های هندسی گره ها در تزیین های اسلامی از دیدگاه هندسه فرکتال-بخش دوم

واژة فرکتال مشتق از واژة لاتینی فراکتوس- به معنی سنگی که به شکل نامنظم شکسته خرد شده است- در سال ۱۹۷۵ برای اولین بار توسط بنوت مندل بروت مطرح شد. فرکتال ها، شکل هایی هستند که بر خلاف شکل های هندسی اقلیدسی، به هیچ وجه منظم نیستند. با ملاحظه اشکال موجود در طبیعت، مشخّص می شود که هندسة اقلیدسی قادر به تبیین و تشریح اشکال پیچیده و ظاهراً بی نظم طبیعی نیست (قبادیان، 1382 : 167 – 166). اصول رياضي هندسه طبیعت یا هندسه فركتال و توصيف بسياري از اشياي فركتال به گذشتة دوري بر ميگردد (شمس، 1380 : 50).
این هندسه سال هاست که توسط معماران و ریاضی دانان متعدّدی مورد بحث و بررسی قرارگرفته و به کارگیری آن در معماری و هندسه مصنوع مورد شک و تردید، نقض یا دفاع واقع شده است (افتخارزاده، 1384 : 100)..نظريّة فركتال برای توصيف پيچيدگي در اشكال به كار ميرود (پناهي، مختاباد امرئي، كريمي خياوي، 1388 : 61 ). فرکتال ها شکل هایی هستند که برعکس شکل های هندسة اقلیدسی، به هیچ وجه به معنی متعارف، منظم نیستند.
این شکل ها اولاً سراسر نامنظم اند، ثانیاً میزان بی نظمی آن ها در همة مقیاس ها یکسان است، الگوی فراکتال در طبیعت یعنی به نوعی دیگر منظم اند. جسم فرکتالی از دور و نزدیک یکسان دیده می شود (خاک زند، احمدی، 1386 : 35-47). اشكال فركتال با فرآيندهاي پويا توليد مي شوند. فرآيندهاي پويا، فرآيندهايي هستند كه داراي حافظه هستند و رفتار آن ها به گذشته بستگي دارد. الگوی فرکتال می تواند فضای ایجاد شده توسط ساختار متفاوت فرکتال را اشغال نماید و الگوی پیچیده تری را حاصل کند. چنین نمونه ای در طبیعت متداول تر است و کمک بسیار زیادی در توضیح تنوع ها و زیبایی های موجود در محیط طبیعی میکند (بل، 1382 : 33).

3-2. بررسی ویژگی های فرکتال ها

در فرکتالها، اجزا و عناصر، در مقیاسهای مختلف تکرار می شوند. هر شکل از قطعات کوچکتری تشکیل شده است که این قطعات با شکل اولیه متشابه هستند؛ به عبارت دیگر وقتی که یکی از قطعات کوچک تشکیل دهنده را به مقیاس شکل اصلی می رسانیم، دقیقاً همان شکل به دست می آید. این ویژگی را خودمتشابهی می نامیم.
فرکتالها به وسیله فرایندی تکرارشونده شکل می گیرند و هر تکرار از نتیجة قبلی اش ساخته شده است. این ویژگی را تکرارشوندگی می نامیم. •فرکتالها در هر مقیاسی یکسان به نظر می رسند. مجموعه هاي فركتال از زيرمجموعه هايي تشيكل شده اند كه اين زيرمجموعه ها شامل مجموعه هاي بزرگتر هستند. مجدداً اين مجموعه ها از زيرمجموعه هاي كوچكتري تشيكل شده اند. اين زير مجموعه ها نيز شبيه مجموعه هاي بزرگتر هستند که این ویژگی را خردمقیاسی می نامیم.
0فرکتال ها ابعاد منحصربه فردی دارند که به صورت ریاضی تعریف شده اند.. بُعد فرکتال یک معیار ریاضی در تعیین درجة پیچیدگی بافت در حال نمایش است که این ویژگی را بعد اعشار می نامیم(Davis,2008;2 Pellonisz). با نزدیک شدن به جسم فراکتال، میبینیم که تکه های کوچکی از آن که از دور همچون دانه های بی شکلی به نظر می رسید، به الگوی فراکتال در طبیعت صورت جسم مشخّص در می آید که شکلش کم و بیش مانند همان شکلی است که از دور دیده می شود. در طبیعت نمونه های فراوانی از فراکتال ها دیده می شود.
درختان، ابرها، کوه ها، رودها، لبة سواحل دریا و گل کلم ها اجسام فراکتال هستند. در واقع، بخش کوچکی از درخت که شاخه آن باشد، شباهت به کل درخت دارد. این مثال را می توان در مورد ابرها، گل کلم، صاعقه و سایر اجسام فرکتال عنوان نمود. چند نمونه از فرکتال ها در جدول شمارة 6 آورده شده است.

جدول 6. دسته بندی ویژگی های فرکتال ها

همان طور الگوی فراکتال در طبیعت که در جدول شمارة 6، مشاهده می شود به طور نمونه دانة برفي کخ ( Kock ) در همه جا پيوسته است، امّا در هيچ جا مشتق پذير نيست. اين منحني داراي محيط بي نهايت با سطح محدود است. نكتة قابل توجّه اين دانة برفي با استفاده از فرآيندی تكراري و پويا توليد شده است، درصورتي كه اشيای اقليدسي با استفاده از فرآيندهاي ايستا توليد مي شوند. مثلث سرپینسکی (Serpinski ) نیز جزء يكي از معروف ترين اشيای فركتال است. این مثلث متساوی الاضلاع خاصيّت خودمتشابهی دارد (قبادیان، Davis,2008;2-9 166-167 :1382).

4. بررسی مقایسة ویژگی گره ها و فرکتال ها
در جدول شمارة 7، چند نمونه از گره و فرکتال را در کنار هم برای نمایش ویژگی های مشترک آورده ایم. با توجّه به نتایج به دست آمده از بررسی هایی که در ویژگی های گره ها انجام دادیم، به نتایجی دست یافتیم که مهم ترین آن این است:گره ها و فرکتال ها فصلنامه ویژگی های مشترکی دارند که هم در «طبیعت » یافت می شوند و هم از اشکال موجود در طبیعت بهره گرفت هاند؛ به عبارت دیگر هر دو منشأ طبیعی دارند.

نتیجه گیری
این نکته حائز اهمیّت است که همة تحلیل ها و نمایش ویژگی گره ها که در این مقاله بررسی گردیده، توسط برنامه های رایانه ای و با صرف وقت و دقت صورت گرفته است. حال این که هنرمندان اسلامی با چه ذوق هنری، درایت و دقّت بالایی از زما نهای دور با ابزار دستی و ساده، چنین نقوش متوازن، زیبا، هنرمندانه و پر رمز و رازی را خلق کرده اند، جای بسی تأمل و تفکر دارد. شیوة هنروری این هنرمندان، محققان را در سراسر جهان شیفته خود کرده است.
بررسی گره ها به روشنی نشان داد که هندسۀ گره ها، ویژگی های لازم را برای قیاس با هندسۀ فرکتال دارد. ویژگی های مشترک فرکتال ها و گره ها را در جدول جمع بندی میبینیم. در این مقاله، فرکتال ها با چهار ویژگی اصلی که با آن شناخته می شوند، با گره ها مقایسه شده اند. گره ها علاوه بر ویژگی های فرکتالی، ویژگی دیگری نیز دارند که آن ها را در جدول شمارة 8 می بینیم. حال الگوی فراکتال در طبیعت آن که ممکن است فرکتال ها این ویژگی ها را نیز داشته باشند که بررسی آن ها در این مقاله نمی گنجد.
گره ها دارای ویژگی های تقارن، دوران، تناسب، نوزایی، مرکزگرایی، چند لایه ای (فولد)، مفهو مگرایی و نمادگرایی هستند. فرکتال ها دارای اشکال هندسه نااقلیدسی، هندسه غیر خطی، بی نظمی، اشکال غیرمتعارف، قوانین خاص، بی انتهایی و اشکال پیچ درپیچ هستند. هر دو دارای ویژگی های مشترک خود متشابهی، خرد مقیاسی، بعد اعشار و تکرارشوندگی هستند.
طبیعت، دستاورد بهترین معمار یعنی خدا و بهترین سرچشمة الهام انسان است.گره ها و فرکتال ها از اشکال موجود در الگوی فراکتال در طبیعت طبیعت بهره و از آن الگو گرفته اند(هر دو منشأ طبیعی دارند). از آن جایی که در طبیعت تعادل وجود دارد، اشکال گره ها مانند فرکتال ها دارای تعادل هستند. برای وضوح مطلب نتایج را می توان در قالب دیاگرام زیر نشان داد:

منحنی فراکتال

منحنی فراکتال است، آزادانه، یک ریاضی منحنی که شکل حفظ الگوی کلی همان بی نظمی ، صرف نظر از بالا آن را بزرگ نمایی می شود، این است که، نمودار آن طول می کشد به شکل یک فراکتال . [1] به طور کلی ، منحنی های فراکتال در هیچ کجای منحنی قابل اصلاح نیستند - یعنی طول محدودی ندارند - و هر فرعی بزرگتر از یک نقطه دارای طول بی نهایت است . [2]

منحنی های فراکتال و الگوهای فراکتال در طبیعت گسترده هستند و در مکان هایی مانند کلم بروکلی ، دانه های برف ، پای گکوها ، کریستال های یخ زده و صاعقه ها یافت می شوند . [3] [4] [5] [6]

اکثر ما عادت داریم منحنی های ریاضی دارای ب dimensionعد یک باشند ، اما به عنوان یک قاعده کلی ، منحنی های فراکتال دارای ابعاد متفاوتی هستند ، [7] همچنین ابعاد فراکتال و لیستی از فراکتال ها را بر اساس بعد هاسدورف مشاهده کنید .

از دهه 1950 بنوا مندلبروت و دیگران به بررسی شباهت خود منحنی های فراکتال پرداختند و نظریه فراکتال ها را در مدل سازی پدیده های طبیعی بکار گرفتند . شباهت به خود رخ می دهد و تجزیه و تحلیل این الگوها منحنی های فراکتالی را در زمینه های مختلف مانند پیدا کرده است

به عنوان مثال، "مناظر" نشان داد توسط دیدگاه میکروسکوپی از سطوح در ارتباط با حرکت براونی ، شبکه های عروقی ، و اشکال از مولکول های پلیمر تمام به منحنی فراکتال مربوط. [1]

فرآیند موج فراکتال – سیستم های معاملاتی – 9 ژانویه 2022

شکل 8-1: فرآیند فراکتال موج مطابق با الگوی قیمت (1، 5) در جدول است.

فرآیند فراکتال-موج نمایش هندسه فراکتال در بعد زمانی است. هندسه فراکتال از یک الگوی تکراری در مقیاس های مختلف ساخته می شود. به زبان ساده، تکرار الگوهایی با اندازه های مختلف است. هندسه فراکتال می تواند یک الگوی خود مشابه با الگوهای کاملاً یکسان در سراسر هر مقیاس باشد. یا اگر الگو به طور ضعیف با الگوی گذشته مطابقت داشته باشد، همچنان می توان آن را به عنوان هندسه فراکتال در نظر گرفت. ما این را شباهت نزدیک به خود در برابر خود شباهت شدید می نامیم. نمونه های زیادی از هندسه فراکتال را می توان در طبیعت یافت. دانه های برف، خطوط ساحلی، درختان نمونه بارز هندسه فراکتال ها در فضا هستند. فراکتال موج هندسه فراکتالی است که در بعد زمان ایجاد می شود. درست مانند هندسه فراکتال را می توان با الگوهای خود مشابه توصیف کرد. فراکتال موج را می توان با الگوهای خود مشابه که در زمان تکرار می شوند توصیف کرد. مفهوم فراکتال موج را می توان به خوبی با تابع وایرشتراس نشان داد.

به زبان ساده، تابع وایرشتراس تابع چرخه ای است که از تعداد بی نهایت توابع کسینوس با دامنه و طول موج متفاوت تولید می شود. با ترکیب تعداد نامتناهی از توابع کسینوس، می‌تواند ساختار پیچیده‌ای ایجاد کند که الگوهای خود مشابه را در مقیاس‌های مختلف تکرار می‌کند. این یک نمونه مصنوعی معمولی از الگوهای فراکتال موج با الگوهای خود مشابه است. ما این تابع را ارائه می کنیم تا به شما در درک ویژگی های فرآیند خود مشابه کمک کنیم. بازار مالی دنیای واقعی هندسه فرکتال سست را نشان می دهد. آنها در الگوهای یکسان در شکل و اندازه تکرار نمی شوند. الگوهای تکرار شونده تا درجاتی شبیه به یکدیگر هستند. از آنجایی که تابع Weierstrss مثال مصنوعی برای هندسه فراکتال دقیق است، خواننده باید توجه داشته باشد که تابع Weierstrss بازار مالی دنیای واقعی را نشان نمی دهد.

شکل 8-2: تابع Weierstrass برای ایجاد حسی برای فرآیند فراکتال-موج. توجه داشته باشید که این فقط فرآیند فراکتال-موج مصنوعی است و این تابع بسیاری از موارد دنیای واقعی را نشان نمی‌دهد.

در کاربردهای دنیای واقعی، فرآیند فراکتال موج اغلب با الگوهای تقریباً مشابه خود ظاهر می شود. بنابراین، تشخیص آنها آسان نیست. سیگنال ضربان قلب یک نمونه معمولی از فرآیند فراکتال موج در طبیعت است (شکل 8-3 و شکل 8-4). اگر روی زیرمجموعه ای از سری های زمانی بزرگنمایی کنیم، می توانیم الگوهای خود مشابه ظاهری را ببینیم. در بازار مالی، فرآیند موج فراکتال اغلب اتفاق می‌افتد، اما بازار معمولاً شباهت نزدیک به خود را نیز نشان می‌دهد. از نظر شکل الگو، بازار مالی و سیگنال ضربان قلب متفاوت است، زیرا الگوی زیربنایی ایجاد کننده پویایی در اندام انسان و رفتار جمعیت به طور اساسی متفاوت است.

شکل 8-3: فرآیند مشابه در ضربان قلب (گلدبرگر و همکاران، 2000).

شکل 8-4: سری زمانی ضربان قلب مداوم.

شکل 8-5: هندسه خود مشابه در سری روزانه EURUSD.

فرآیند فراکتال-موج مبنای بسیاری از استراتژی های معاملاتی محبوب مانند موج الیوت، الگوهای هارمونیک، الگوهای مثلث و گوه است. با این حال، این استراتژی های تجاری به خوبی با علم موجود در گذشته مرتبط نبودند. این یکی از انگیزه‌های مهم برای من بود تا برای نوشتن و اتصال این استراتژی‌های تجاری به علم موجود قدم بردارم. اغلب اوقات، معامله‌گران روزانه اشاره می‌کردند که این استراتژی‌ها جواب می‌دهند زیرا بازار خود را تکرار می‌کند. برای من، این توضیح کافی نخواهد بود قبل از اینکه تعهد تمام وقت به آنها بدهم.

بنابراین، من مجبور شدم تحقیقات زیادی را انجام دهم تا منشا این استراتژی های معاملاتی را پیدا کنم و ارزش واقعی پشت آنها را ببینم. از تحقیقات من، به احتمال زیاد، الگوهای تکراری در این استراتژی‌ها از موج فراکتال می‌آیند. من در ابتدا بسیار خوشحال بودم تا اینکه متوجه شدم تفاوت زیادی بین مفاهیم اساسی این استراتژی های معاملاتی و خود موج فراکتال وجود دارد.

برای مشاهده تفاوت، می توانید سیگنال ضربان قلب و سری قیمت EURUSD را در شکل 8-4 و شکل 8-5 مقایسه کنید. همچنین می توانید سیگنال ضربان قلب و سری S&P 500 را در شکل 8-6 مقایسه کنید. با سیگنال ضربان قلب در شکل 8-4، ممکن است فکر کنید که شبیه به داده های بازار سهام یا فارکس است اما از جهاتی متفاوت است. اگر این احساس را داشتید، بسیار درست می گویید. تفاوت اصلی اینجاست.

به نظر می رسد که سیگنال ضربان قلب دارای الگوهای میانگین یا افقی ثابتی است که در قسمت Stationary Process در فصل 5 توضیح دادیم. با این حال، سری قیمت EURUSD یا سری S&P 500 هیچ الگوی افقی قابل توجهی را نشان نمی دهند. در مورد انسان، ضربان قلب به طور چشمگیری افزایش می یابد تا در طول فعالیت های فشرده مانند دوی سرعت، خون بیشتری خارج شود، اما برای حفظ زندگی ما باید به محدوده طبیعی برگردند. به طور طبیعی، این الگوهای افقی را همانطور که در فرآیند ثابت توضیح دادیم تشکیل می دهد. از سوی دیگر، محدوده عملیاتی بازار مالی نیازی به ایجاد الگوهای افقی ندارد که گویی ضربان قلب این کار را می کند. اولاً، بازار مالی برای رشد یا کاهش با زمان طراحی شده است (شکل 8-6). ثانیاً، عوامل اساسی زیربنایی، صعود و سقوط بازار مالی (شکل 8-6) را به سمت مقصد ناشناخته هدایت می کند.

در مورد انسان، ما می دانیم که ضربان قلب ما باید بین 60 تا 100 بار در دقیقه حفظ شود. در حالی که شما یک مرد زنده هستید، این محدوده طبیعی بیشتر اوقات مقصد ضربان قلب شماست. بسیار قابل پیش بینی است که ضربان قلب شما با 130 بار در دقیقه به 80 بار در دقیقه بازگردد. در بازار مالی، مقصد نهایی مشخص و باز نیست. حتی اگر S&P500 فردا به 3000 امتیاز برسد، مطمئن نیستیم که حتی در سال آینده یا هر زمان دیگری به 1000 امتیاز بازگردد. از این رو، ما در مورد نوع مشابه اما بسیار متفاوت از موج فراکتال صحبت می کنیم. موج فراکتال به تنهایی نمی تواند تفاوت بین این دو را توضیح دهد. در گذشته، بسیاری از معامله‌گران روز تصویر گمراه‌کننده‌ای بین موج فراکتال و این استراتژی‌های معاملاتی داشتند، زیرا هیچ کس یا هیچ مقاله‌ای تلاشی برای توضیح روشن یا آسان در مورد آنها نداشتند. این انگیزه دیگری برای من برای نوشتن این کتاب بود.

مقصد باز و ناشناخته بازار مالی آنجاست زیرا عوامل بنیادی زیربنایی بازار را به سمت سطح قیمتی سوق می دهد که اکثر مردم آن را منطقی ترین سطح می دانند. به عبارت دیگر بازار به سمت قیمت تعادلی حرکت خواهد کرد. ما این را در فرآیند تعادل در فصل 8 پوشش دادیم. بازار مالی نه تنها از موج فراکتال بلکه با فرآیند تعادل نیز تشکیل شده است. از این رو، به همین دلیل است که بازار مالی با سریال های ضربان قلب متفاوت است، اگرچه هر دو دارای موج فراکتال هستند. ما به تازگی مفهوم مهم فرآیند موج فراکتال تعادل را مشخص کردیم. در دو فصل بعدی، شما را به جزئیات فرآیند موج تعادل و فرآیند موج فراکتال تعادل خواهیم برد تا دید کامل و سیستماتیکی از استراتژی معاملات و بازار مالی به شما ارائه دهیم.